【初心者向け】RLC直列回路の過渡現象について解説します！

RLC直列回路の過渡現象は、電子回路では発生することが多いため、必ず理解しておくべきです。

【RLCの意味】

R：Resistor（抵抗）の頭文字

L：Coil（コイル）の最後の文字

C：Capacitande（コンデンサ）の頭文字

$$ Vr + Vl + Vc = E $$

$$⇔ RI + L\frac{dI}{dt} + \frac{1}{C}\int Idt = E　$$

\(I \)：回路に流れる電流

\(E \)：直流電源の電圧

\( Vr \) ：抵抗の電位差

\( Vl \)：コイルの電位差

\( Vc \)：コンデンサの電位差

$$ y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0　・・・①$$

①の一般解は、下記方程式の解を用いて表すことができる。

$$ γ^2 + aγ + b = 0　・・・②$$

１．②が異なる2つの実数解（p,q）を持つとき、

$$ y = Se^{px} + Te^{qx} $$
２．②が異なる2つの虚数解（h±ki）を持つとき、

$$ y = e^{hx}(Scoskx+ Tsinkx) $$

３．②が異なる重解（p）を持つとき、

$$ y = e^{px}(S+ Tx) $$

$$※S,Tは定数$$

$$ RI + L\frac{dI}{dt} + \frac{1}{C}\int Idt = E　・・・①$$

①の両辺をtで微分すると、

$$ R\frac{dI}{dt} + L\frac{d^2I}{dt^2} + \frac{1}{C} = 0　・・・②$$

②の微分方程式を解きやすいように両辺をLで割って並び替えると、

$$ \frac{d^2I}{dt^2} + \frac{R}{L}\frac{dI}{dt} + \frac{1}{LC} = 0　・・・③$$

③の解は、下記方程式④の解を用いて表すことができる。

$$ γ^2 + \frac{R}{L}γ + \frac{1}{LC} = 0　・・・④$$

解の公式を用いて④を解くと、

$$ γ = -\frac{R}{2L} \pm\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^2-\frac{1}{LC}} $$

１．④が異なる2つの実数解を持つとき、\(　\left(\frac{R}{2L}\right)^2>\frac{1}{LC} \)であり、

\begin{eqnarray}
I = &S&e^{\left(-\frac{R}{2L} +\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^2-\frac{1}{LC}}\right)t} \\
&+& Te^{\left(-\frac{R}{2L} -\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^2-\frac{1}{LC}}\right)t}
\end{eqnarray}

２．②が異なる2つの虚数解を持つとき、\(　\left(\frac{R}{2L}\right)^2<\frac{1}{LC} \)であり、 \begin{eqnarray} y = &e&^{(-\frac{R}{2L})t}(Scos\left(\sqrt{\frac{1}{LC}-\left(\frac{R}{2L}\right)^2}\right)t \\ &+& Tsin\left(\sqrt{\frac{1}{LC}-\left(\frac{R}{2L}\right)^2}\right)t) \end{eqnarray} ３．②が異なる重解を持つとき、\(　\left(\frac{R}{2L}\right)^2=\frac{1}{LC} \)であり、 $$ y = e^{\left(-\frac{R}{2L}\right)t}(S+ Tt) $$ $$ ※S,Tは定数 $$

１．　\( \left(\frac{R}{2L}\right)^2 \) ＞ \( \frac{1}{LC} \)

電流はゆっくりと流れなくなるため、測定点の電圧はゆっくりと電源電圧に近づいていきます。
 
２．　\( \left(\frac{R}{2L}\right)^2\) ＜ \( \frac{1}{LC} \)

\( Vc = \frac{1}{C}\int Idt \)であるため、測定点の電圧は、電流と\( \frac{π}{2} \)ずれた波形になります。

最後には電流が流れなくなるため、測定点の電圧は電源電圧と同じになります。
 
３．　\( \left(\frac{R}{2L}\right)^2\) ＝ \( \frac{1}{LC} \)

１と同様に、電流はゆっくりと流れなくなるため、測定点の電圧はゆっくりと電源電圧に近づいていきます。

【定数の設定】

抵抗R：600Ω

インダクタンスL：900nH

コンデンサC：10pF

電源電圧E：3V

【電流波形・電圧波形の導出】

\( \left(\frac{R}{2L}\right)^2 = \left(\frac{600}{2×900n}\right)^2 = \frac{1}{9}×10^{18} \)

\( \frac{1}{LC} = \frac{1}{900n×10p} = \frac{1}{9}×10^{18} \)

\( \left(\frac{R}{2L}\right)^2 = \frac{1}{LC} \)より、電流波形：減少、電圧波形：上昇となります。

【定数の設定】

抵抗R：600Ω ⇒ 100Ω

インダクタンスL：900nH

コンデンサC：10pF

電源電圧E：3V

【電流波形・電圧波形の導出】

\( \left(\frac{R}{2L}\right)^2 = \left(\frac{100}{2×900n}\right)^2 = \frac{1}{324}×10^{18} \)

\( \frac{1}{LC} = \frac{1}{900n×10p} = \frac{1}{9}×10^{18} \)

\( \left(\frac{R}{2L}\right)^2 ＜ \frac{1}{LC} \)より、電流波形：振動、電圧波形：振動となります。